Ukuran Letak
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Statistik berasal dari bahasa Latin yang artinya
adalah “status” atau negara. Pada mulanya statistika berhubungan dengan fakta
dan angka yang dikumpulkan oleh pemerintah untuk bermacam-macam tujuan.
Statistik juga diturunkan dari kata bahasa Inggris yaitu state atau pemerintah.
Pengertian yang sangat sederhana tentang statistic adalah sebagai suatu
kumpulan data yang berbentuk angka dan tersusun rapi dalam suatu tabel, grafik,
gambar, dan lain-lain. Misalnya tabel mengenai keadaan pegawai di
kantor-kantor, grafik perkembangan jumlah penduduk dari waktu ke waktu, dan
lain sebagainya. Sedangkan pengertian yang lebih luas mengenai statistik adalah
merupakan kumpulan dari teknik mengumpulkan, analisis, dan interpretasi data
dalam bentuk angka. Dan statistik juga merupakan bilangan yang menunjukkan
sifat-sifat (karakteristik) data yang dikumpulkan tersebut.
Statistika dapat didefinisikan sebagai suatu ilmu
pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan fakta/data,
pengolahan data, kemudian menganalisis data tersebut sehingga dapat diperoleh
suatu kesimpulan/keputusan. Penggunaan istilah statitika berakar dari istilah -
istilah dalam bahasa latin “modern statisticum collegiums (“dewan negara”) dan
bahasa Italian statista (“negarawan” atau “politikus”). Pada abad ke 19 dan
awal abad ke 20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam
matematika, terutama peluang.penggunaan statistika pada masa sekarang dapat di
katakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi
hingga linguistika. Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai
cabang dari matematika tetapi sebagian pihak lainya menganggap statistika
sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan
aplikasinya.
B.
Rumusan
Masalah
Adapun
rumusan masalah dari makalah kami yakni sebagai berikut :
1. Pengertian
dan Macam-Macam Ukuran Letak.
2. Cara Menghitung Kuartil, Desil, Dan Persentil Data
Tunggal (Tak Terkelompok).
3. Cara Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data
Dalam Daftar Distribusi Frekuensi Berkelompok.
C.
Tujuan
Tujuan dari
penulisan makalah ini yaitu agar mahasiswa dapat mengetahui :
1. Pengertian
dan Macam-Macam Ukuran Letak.
2. Cara Menghitung Kuartil, Desil, Dan Persentil Data
Tunggal (Tak Terkelompok).
3. Cara Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data
Dalam Daftar Distribusi Frekuensi Berkelompok.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian
Dan Macam-Macam Ukuran Letak
Ukuran letak suatu rangkaian data adalah ukuran yang
didasarkan pada letak ukuran tersebut dalam suatu distribusi.
Selain ukuran pemusatan terdapat pula ukuran letak. Salah satu dari ukuran
letak adalah median yang menunjukkan nilai skor tengah dalam susunan skor yang
diurutkan mulai dari yang terkecil ke yang terbesar. Dengan demikian median
terletak di tengah-tengah data yang telah diurutkan dan dapat dianggap bahwa
median membagi data yang telah diurutkan itu menjadi dua sub kelompok yang sama
banyak. Selain median yang telah kita pelajari sebelum ini ada ukuran letak lainnya
yakni:
1.
Kuartil (disingkat K)
Ukuran letak yang membagi suatu distribusi ke dalam 4
bagian yang sama. Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap
25 persen dalam distribusi frekuensi. Fungsi kuartil untuk menentukan
nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Oleh sebab itu
teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk membagi
distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen
distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni;
kuartil 1 (K1), kuartil 2 (K2) dan kuartil ke 3 (K3).
Kuartil pertama (K1) adalah
suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah dan 75 % distribusi
bagian atas.
Kuartil kedua (K2) adalah
nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian
atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median
(Mdn).
Kuartil ketiga (K3) adalah
nilai yang membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian
atas.
Asumsi teknik pengukuran kuartil : data
yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya
setingkat skala interval.
2.
Desil (disingkat D)
Desil dari suatu rangkaian data adalah ukuran letak
yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama. Desil adalah
nilai yang memisahkan tiap-tiap 10 persen dalam distribusi frekuensi. Fungsi
desil untuk menentukan nilai batas tiap 10 persen dalam distribusi yang
dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibadi
menjadi 10 bagian yang sama, untuk selanjutnya menentukan batas tiap 10 persen
distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 9 nilai desil yakni;
desil 1 (D1), desil 2 (D2), desil ke 3 (D3) dan seterusnya sampai dengan desil
ke 9 atau D9.
Desil pertama (D1) adalah
suatu nilai yang membatasi 10% distribusi bagian bawah dan 90 % distribusi
bagian atas.
Desil kedua (D2) adalah nilai yang membatasi 20%
distribusi bagian bawah dan 80% distribusi bagian atas.
Desil kelima (D5) adalah
nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian
atas. Dalam hal ini desil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median
(Mdn) dan kuartil ke 2 (K2).
Desil kesembilan (D9) adalah
nilai yang membatasi 90% distribusi bagian bawah dan 10% distribusi bagian atas.
Asumsi teknik
pengukuran desil : data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam
bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval.
3.
Persentil (disingkat P)
Persentil suatu rangkaian data adalah ukuran letak
yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama besar. Oleh karena
itu fungsi persentil adalah menentukan nilai batas tiap 1 persen dalam
distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau
distribusi data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, untuk selanjutnya
menentukan batas tiap 1 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam statistik
dikenal ada 99 nilai persentil yakni; persentil 1 (P1), persentil 2 (P2),
persentil ke 3 (P3) dan seterusnya sampai dengan persentil ke 99 atau P99.
Persentil pertama (P1) adalah suatu
nilai yang membatasi 1% distribusi bagian bawah dan 99 % distribusi bagian
atas.
Persentil kedua (P2) adalah
nilai yang membatasi 2% distribusi bagian bawah dan 98% distribusi bagian atas.
Persentil ke 50 (P50) adalah
nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian
atas. Dalam hal ini persentil 50 dapat diidentikkan dengan pengukuran median
(Mdn) dan kuartil ke 2 (K2) serta desil ke 5 atau D5.
Persentil ke 99 (P99) adalah
nilai yang membatasi 99% distribusi bagian bawah dan 1% distribusi bagian atas.
Asumsi teknik
pengukuran persentil: data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk
numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval.
B.
Cara
Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data Tunggal (Tak Terkelompok)
1.
Kuartil
Kuartil ke-i ialah bilangan yang 'dapat
dianggap' sebagai data (skor) yang urutan besarnya bernomor
,
sehingga kuartil ke-i yang dilambangkan
dengan Qi ditentukan oleh:
Qi =
, dengan
Contoh :
a.
Berikut data
berat badan (dalam satuan kilogram) dari 11 orang siswa: 49, 44, 62, 54, 38,
40, 53, 46, 45, 36, 42. Tentukan Q1, Q2, dan Q3.
b.
Dari 11 siswa
yang diukur tinggi badannya (dalam satuan sentimeter), diperoleh data sebagai
berikut: 170, 162, 157, 158, 165, 173, 160, 159, 171, 168, 175, 175, 180.
Tentukan Q1, Q2, dan Q3.
c.
Selama 12 hari
dilakukan pengamatan terhadap jumlah pengunjung sebuah supermarket yang baru
dibuka sehingga diperoleh data: 96, 70, 82, 50, 84, 71, 28, 64, 72, 68, 72, 50.
Tentukan Q1, Q2, dan Q3.
Jawab:
a.
Data diurutkan
sehingga diperoleh : 36 38 40 42 44 45 46 49 53 54 62 (n = 11) Selanjutnya, Q1,
Q2, dan Q3 ditentukan sebagai berikut:
Q1
=
=
=
3
skor
ke 3 = 40. Jadi, Q1 = 40
Q2
=
=
=
6
skor
ke 6 = 45. Jadi, Q2 = 45
Q3
=
=
=
9
skor
ke 9 = 53. Jadi, Q3 = 53
36
38 40 42 44 45 46 49 53 54 62
↓ ↓
↓
Q1 Q2 Q3
b.
Data diurutkan
sehingga diperoleh : 157 158 159 160 162 165 168 170 171 173 175 175 180 (n =
13) Selanjutnya, Q1, Q2, dan Q3 ditentukan sebagai
berikut:
Q1
=
Jadi,
Q1 terletak di antara skor ke-3 dan skor ke-4, dan nilainya adalah:
Q1
=
Q2
=
Jadi,
Q2 adalah skor ke-7 = 168
Q3
=
Jadi,
Q3 terletak di antara skor ke-10 dan skor ke-11
Q3
=
157
158 159 160 162 165 168 170 171 173 175 175 180
↓
↓ ↓
Q1 = 159,5 Q2
= 168 Q3 = 174
Pada contoh ini, nilai Q1 dan Q3
tidak terdapat pada data tetapi dapat ditentukan dari rataan dua skor yang mengapitnya..
c.
Data diurutkan
sehingga diperoleh: 28 50 50 64 68 70 71 72 72 82 84 96 (n = 12) Selanjutnya, Q1,
Q2, dan Q3 ditentukan sebagai berikut:
Q1
=
Jadi,
diperoleh: Q1 = skor ke-3 +
(skor
ke-4 – skor ke-3)
= 50 +
50 + 3,5 = 53,5
Q2 =
Jadi, diperoleh: Q2 = skor ke-6 +
(skor
ke-7 – skor ke-6)
=
70 +
(1) = 70 + 0,5 = 70,5
Q3 =
Jadi, diperoleh: Q3 = skor ke-9 +
(skor
ke-10 – skor ke-9)
=
72 +
(82
- 72) = 72 + 7,5 = 79,5
28
50 50 64 68 70 71 72 72 82 84 96
↓ ↓ ↓
Q1 = 53,5 Q2
= 70,5 Q3 = 79,5
2.
Desil
Desil ke-i ialah bilangan yang 'dapat
dianggap' sebagai data (skor) yang urutan besarnya bernomor
, i = 1 ,2 ,3 , … , 9 sehingga desil ke-i
yang dilambangkan dengan Di ditentukan oleh:
Di =
dengan
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sebagaimana kuartil, nilai desil juga tidak
harus terdapat pada data.
Contoh :
Tentukan nilai D6 dari data
pengamatan terhadap jumlah pengunjung sebuah toko buku yang baru dibuka sebagai
berikut: 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 35, 39,
43, 47.
Jawab:
Data sudah diurutkan yakni:
9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22,
23, 25, 27, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47. ( n= 20)
Selanjutnya D6 ditentukan sebagai
berikut:
D6 =
D6 = skor ke 12 + 0,6 (
skor ke-13 – skor ke-12)
= 25 + 0,6 ( 27 – 25)
= 25 + 1,2
= 26,2
3.
Persentil
Serupa dengan cara menghitung kuartil
dan desil di atas, persentil ke-i ialah bilangan
yang 'dapat dianggap' sebagai data
(skor) yang urutan besarnya bernomor
, dengan
i = 1, 2, 3, … , 99 sehingga persentil ke-i yang dilambangkan dengan Pi ditentukan oleh:
Pi =
, dengan i = 1, 2, 3, … , 99
Sebagaimana kuartil dan desil, nilai
persentil juga tidak harus terdapat pada data.
C.
Cara
Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data Dalam Daftar Distribusi Frekuensi
Berkelompok
Untuk data yang disusun dalam daftar
distribusi frekuensi berkelompok, kuartil dihitung dengan rumus sebagai
berikut.
Qi =
dengan i = 1, 2,
3
dengan
Qi : kuartil ke-i
Bb : Batas bawah
kelas Qi yaitu kelas interval yang memuat Qi
p : panjang kelas Qi
F : Jumlah semua
frekuensi kelas sebelum kelas Qi
f : frekuensi
kelas Qi
Contoh :
Tentukan kuartil pertama, kedua, dan
ketiga dari data Nilai Ujian Matematika siswa
SMP X berikut.
Nilai
|
f
|
31
– 40
41
– 50
51
– 60
61
– 70
71
– 80
81
– 90
91
– 100
|
2
3
5
13
25
20
12
|
Jumlah
|
80
|
Jawab:
Untuk memudahkan perhitungan, pada tabel
tersebut dapat ditambahkan kolom frekuensi kumulatif (fkum ) seperti
berikut ini.
Nilai
|
f
|
fkum
|
31
– 40
41
– 50
51
– 60
61 – 70
71
– 80
81
– 90
91
– 100
|
2
3
5
13
25
20
12
|
2
5
10
23
48
68
80
|
Jumlah
|
80
|
-
|
Q1 terletak pada
sehingga Q1 terletak pada kelas keempat
yaitu kelas [61 – 70]
diperoleh:
batas bawah = Bb = 61 – 0,5 =
60,5
panjang kelas = p = 10
F = 10 (fkum
sebelum kelas Q1)
f = 13 (frekuensi
kelas Q1)
Jadi,
Q1 = Bb + p
Q2 terletak pada
sehingga Q2 terletak pada kelas
kelima yaitu kelas [71 – 80]
diperoleh:
Batas bawah = Bb = 71 – 0,5 =
70,5
panjang kelas = p = 10
F = 23 (fkum
sebelum kelas Q2)
f = 25 (frekuensi
kelas Q2)
Jadi,
Q2 = Bb + p
• Q3
terletak pada
sehingga Q3 terletak pada kelas
keenam yaitu kelas [81 – 90]
diperoleh:
Batas bawah = Bb = 81 – 0,5 =
80,5
panjang kelas = p = 10
F = 48 (fkum
sebelum kelas Q3)
f = 20 (frekuensi
kelas Q3)
Jadi,
Q3 = Bb + p
Secara serupa dengan cara menghitung
kuartil dari data dalam tabel distribusi frekuensi
terkelompok di atas, untuk desil dari data dalam daftar distribusi frekuensi
berkelompok
ditentukan oleh:
Di = Bb + p
dengan
i = 1, 2, 3, … , 9
dengan
Di : Desil ke-i
Bb : Batas bawah
kelas Di yaitu kelas interval yang memuat Di
p : panjang kelas Di
F : Jumlah semua
frekuensi kelas sebelum kelas Di
f : frekuensi
kelas Di
Sedangkan untuk persentil dari data
dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok ditentukan oleh:
Pi = Bb + p
,dengan i = 1, 2, 3, … , 99
dengan
Pi : Persentil ke-i
Bb : Batas bawah
kelas Pi yaitu kelas interval yang memuat Pi
p : panjang kelas Pi
F : Jumlah semua
frekuensi kelas sebelum kelas Pi
f
:
frekuensi kelas Pi
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Ukuran letak
suatu rangkaian data adalah ukuran yang didasarkan pada letak ukuran tersebut
dalam suatu distribusi.
Macam-Macam
Ukuran Letak :
• Kuartil
Kuartil adalah bilangan yang 'dapat
dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang
terkecil ke yang terbesar, menjadi empat sub kelompok yang sama banyak. Ada 3
macam kuartil yakni:
- Kuartil pertama (Q1)
- Kuartil kedua (Q2) yang juga
merupakan median, dan
- Kuartil ketiga (Q3)
Nilai kuartil tidak harus terdapat pada data.
• Desil
Desil ialah bilangan yang 'dapat
dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang
terkecil ke yang terbesar, menjadi sepuluh sub kelompok yang sama banyak.
Dengan demikian terdapat 9 macam desil yakni mulai dari desil pertama (D1)
sampai dengan desil kesembilan (D9).
• Persentil
Persentil ialah bilangan yang 'dapat
dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang
terkecil ke yang terbesar, menjadi 100 sub kelompok yang sama banyak. Dengan
demikian terdapat 99 macam persentil yakni mulai dari persentil pertama (P1)
sampai dengan persentil ke sembilan puluh sembilan (P99).
Mudah dipahami bahwa Median = Q2
= D5 = P50
DAFTAR
PUSTAKA
http://www.slideshare.net/shochrul_nrohma/ukuran-letak
Comments
Post a Comment